Determine a interseção do plano pi com a superfície quádrica S. Em cada caso, identifique seus elementos (centro, focos, vértices, assíntotas, raio)
S:-4 x^2+4 y-z^2=0, pi: z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o plano
picolon z-1=0
e a superfície quádruple
Scolon -4x^2 +4y -z^2 = 0
O tema é seção de superfície quádruple e identificação do tipo de seção cônica resultante.

Passo 2

Na interseção temos z=1. Substituindo em S:
-4x^2 +4y -1^2 =0

Passo 3

Simplificando a equação obtemos
4y =4x^2 +1 Longrightarrow y = x^2 + tfrac14, z=1
Logo a curva de interseção é dada por
y = x^2 + tfrac14, z = 1

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica de parábola no plano z=1:
y - tfrac14 = x^2
Comparando com
y-k = tfrac14p(x-h)^2
vemos que h=0, k=tfrac14 e tfrac14p=1, logo p=tfrac14. Isso mostra que a interseção é uma parábola de parâmetro focal p=tfrac14.

Passo 5

Os elementos da parábola são:
Vértice V=(h,k,1) = (0,tfrac14,1).
Foco F=(0,k+p,1) = (0,tfrac12,1).
Diretriz no plano z=1:
y = k-p = 0,
ou seja a reta (x,0,1)mid xin R.
Não há centro, não há assíntotas e não se define raio para parábola.

Resposta

A interseção
com vértice e diretriz no plano .

Exercícios relacionados