Determine a interseção dos planos abaixo, se houver:
x+y+z=0 , x+2 y+z-1=0
e x+y+3 z-2=0
(R.: pi1 cap pi2 cap pi3=P0=(-2,1,1) )

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a interseção dos três planos
pi1:;x+y+z=0,
pi2:;x+2y+z-1=0,
pi3:;x+y+3z-2=0
Isto equivale a resolver um sistema linear de três equações e três incógnitas por eliminação.

Passo 2

Reescrevendo as equações em forma canônica:
x+y+z=0,
x+2y+z=1,
x+y+3z=2

Passo 3

Eliminamos x subtraindo a primeira equação das outras duas:
da segunda:
(x+2y+z)-(x+y+z)=1-0
implies y=1,
da terceira:
(x+y+3z)-(x+y+z)=2-0
implies 2z=2Longrightarrow z=1

Passo 4

Substituímos y=1 e z=1 na primeira equação para encontrar x:
x+1+1=0
implies x=-2

Passo 5

Concluímos que as três superfícies se intersectam num único ponto
P0=(-2,,1,,1)

Resposta

P0=(-2,,1,,1)

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