Determine a interseção dos planos abaixo, se houver: (R.:
Passo 1
O enunciado pede a interseção das retas pi1:x+y-4z=0, pi2:x-y=0 e pi3:x+2y-6z=0.
Isso é um sistema linear de três equações em três variáveis (x,y,z).
O conteúdo utilizado será resolução de sistema e parametrização de retas em R^3.
Passo 2
Da equação de pi2 temos
x - y = 0
logo
y = x
Passo 3
Substituindo y=x em pi1 e em pi3:
Em pi1:
x + x - 4z = 0 Longrightarrow 2x = 4z Longrightarrow x = 2z
Em pi3:
x + 2x - 6z = 0 Longrightarrow 3x = 6z Longrightarrow x = 2z
As duas dão a mesma relação x=2z, sem inconsistência.
Passo 4
Como x=2z e y=x, podemos tomar z como parâmetro. Seja
z = t
Então
x = 2t, y = 2t
Para simplificar a forma paramétrica, renomeamos o parâmetro dividindo tudo por 2. Chamamos
t' = 2t Longrightarrow t = tfrac12t'
Renomeando t' de volta para t, ficamos com
x = t, y = t, z = 12t
Resposta
pi1cappi2cappi3=r: x = t, y = t, z = tfrac12,t, tin R