Determine a interseção dos planos abaixo, se houver:
x+y-4 z=0 , x-y=0 e x+2 y-6 z=0 (R.:
pi1 cap pi2 cap pi3=r:lx=t y=t z=12 t)

Passo 1

O enunciado pede a interseção das retas
pi1:x+y-4z=0, pi2:x-y=0 e pi3:x+2y-6z=0.
Isso é um sistema linear de três equações em três variáveis (x,y,z).
O conteúdo utilizado será resolução de sistema e parametrização de retas em R^3.

Passo 2

Da equação de pi2 temos
x - y = 0
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y = x

Passo 3

Substituindo y=x em pi1 e em pi3:
Em pi1:
x + x - 4z = 0 Longrightarrow 2x = 4z Longrightarrow x = 2z
Em pi3:
x + 2x - 6z = 0 Longrightarrow 3x = 6z Longrightarrow x = 2z
As duas dão a mesma relação x=2z, sem inconsistência.

Passo 4

Como x=2z e y=x, podemos tomar z como parâmetro. Seja
z = t
Então
x = 2t, y = 2t
Para simplificar a forma paramétrica, renomeamos o parâmetro dividindo tudo por 2. Chamamos
t' = 2t Longrightarrow t = tfrac12t'
Renomeando t' de volta para t, ficamos com
x = t, y = t, z = 12t

Resposta

pi1cappi2cappi3=r: x = t, y = t, z = tfrac12,t, tin R

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