Determine a posição relativa entre as retas e os planos abaixo e sua interseção, se houver:
r1:cx=4+t y=3+2 t z=-2-3 t
pi:lx=2+a+2 b y=-3-a-b z=1+3 a-3 b
r cap pi=P0=(2221,-6121, 487) )

Passo 1

O enunciado dá a reta
r1: x=4+t, y=3+2t, z=-2-3t
e o plano em forma paramétrica
pi: x=2+a+2b, y=-3-a-b, z=1+3a-3b
Queremos saber se a reta é paralela, contida ou secante ao plano e, no caso secante, verificar que a interseção é
P0=l(tfrac2221,-tfrac6121,tfrac487r)

Passo 2

Extraímos dois vetores diretores do plano:
v1=(1,-1,3), v2=(2,-1,-3)
O vetor normal ao plano é
n = v1 times v2 = (6,9,1)
Já o vetor diretor da reta é
u=(1,2,-3)
Como
ncdot u = 6cdot1 + 9cdot2 + 1cdot(-3) = 21 neq 0,
a reta não é paralela ao plano. Logo ela é secante a pi.

Passo 3

Agora verificamos que
P0=l(tfrac2221,-tfrac6121,tfrac487r)
pertence a r1. Procuramos t tal que
(4+t,;3+2t,;-2-3t) =l(tfrac2221,-tfrac6121,tfrac487r)
Da primeira coordenada:
4+t = tfrac2221 Rightarrow t = -tfrac6221
Substituindo esse t nas outras duas coordenadas, confere que elas coincidem com as de P0. Portanto P0in r1.

Passo 4

Por fim, mostramos que
Isso gera o sistema
cuja solução é
Logo (P_0\in\pi].

Resposta

A reta r1 e o plano pi são secantes, e a interseção é o ponto
P0 = l(tfrac2221,-tfrac6121,tfrac487r)

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