Determine a interseção dos planos abaixo, se houver:
x+2 y-z=0 , 2 x+4 y-2 z=1 e 3 x-y+z=2 (R.:
pi1 cap pi2 cap pi3=0 )

Passo 1

O enunciado pede a interseção dos planos
pi1colon x+2y-z=0,
pi2colon 2x+4y-2z=1 e
pi3colon 3x-y+z=2.
Para determinar sua interseção, vamos usar a ideia de vetores normais e verificar se há consistência no sistema associado.

Passo 2

Calculamos os vetores normais:
n1=(1,2,-1), n2=(2,4,-2), n3=(3,-1,1)
Note que n2=2,n1. Logo, pi2 é paralela a pi1.

Passo 3

Do fato de pi2 ser paralela a pi1, só podem coincidir se os termos constantes também obedecerem a essa relação. Se multiplicarmos a equação de pi1 por 2, obteríamos
2x+4y-2z=2cdot 0 = 0,
mas a equação de pi2 diz 2x+4y-2z=1. Como 0neq1, os planos são paralelos e distintos, não têm ponto em comum. Assim
pi1cap pi2 = varnothing

Passo 4

Se pi1cappi2=varnothing, a interseção com pi3 também será vazia. Logo
pi1cap pi2cap pi3 = varnothing

Resposta

varnothing

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