Determine a posição relativa entre as retas e os planos abaixo e sua interseção, se houver:
r1:lx=1+2 t y=2-t z=3+t e pi: 2 y-4 z+5=0 (R.: r cap pi=P0=(0, 52, 52) )

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta
r1: x=1+2t, y=2-t, z=3+t
e o plano
pi:;2y-4z+5=0,
bem como, se houver interseção, encontrar o ponto comum. Vamos usar dois fatos da geometria analítica:
  1. A reta é paralela ao plano se, e somente se, o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.
  2. Se não for paralela, intersecta em um único ponto obtido ao substituir as equações paramétricas no plano e resolver para o parâmetro t.

Passo 2

Extraímos da reta o vetor diretor
vec v=(2,,-1,,1)
e do plano o vetor normal
vec n=(0,,2,,-4)
Calculamos o produto escalar
vec vcdotvec n=2cdot0+(-1)cdot2+1cdot(-4)=-2-4=-6neq0
Como vec vcdotvec nneq0, a reta não é paralela ao plano, logo é uma reta secante.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, substituímos
x=1+2t, y=2-t, z=3+t
na equação de pi e resolvemos para t:
2(2-t)-4(3+t)+5=0
Desenvolvendo,
4-2t-12-4t+5=0;Longrightarrow;-6t-3=0;Longrightarrow;t=-tfrac12

Passo 4

Com t=-tfrac12, obtemos as coordenadas do ponto P0:
x=1+2l(-tfrac12r)=0, y=2-l(-tfrac12r)=tfrac52, z=3+l(-tfrac12r)=tfrac52

Resposta

A reta r1 e o plano pi são secantes, intersectando no ponto
P0=l(0,tfrac52,tfrac52r)

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