Determine a posição relativa entre as retas e os planos abaixo e sua interseção, se houver:
e
pi: 2 y-4 z+5=0 (R.:
r cap pi=P0=(0, 52, 52) )
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa entre a reta
e o plano
bem como, se houver interseção, encontrar o ponto comum. Vamos usar dois fatos da geometria analítica:
- A reta é paralela ao plano se, e somente se, o vetor diretor da reta for ortogonal ao vetor normal do plano.
- Se não for paralela, intersecta em um único ponto obtido ao substituir as equações paramétricas no plano e resolver para o parâmetro
.t
Passo 2
Extraímos da reta o vetor diretor
e do plano o vetor normal
Calculamos o produto escalar
Como
vec vcdotvec nneq0 , a reta não é paralela ao plano, logo é uma reta secante.
Passo 3
Para achar o ponto de interseção, substituímos
na equação de
pi e resolvemos para
t :
Desenvolvendo,
Passo 4
Com
t=-tfrac12 , obtemos as coordenadas do ponto
P0 :
Resposta
A reta
r1 e o plano
pi são secantes, intersectando no ponto