Sejam os vetores u=(1,1,1)E, v=(2, x,-1)E e w=(0,1,-1)E. Para que valores de reais de x o tetraedro determinado por estes vetores tem volume 1 ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
vec u=(1,1,1), vec v=(2,x,-1) e vec w=(0,1,-1).
O tetraedro com vértices na origem e em vec u,vec v,vec w tem volume
V=16l|det(vec u,vec v,vec w)r|
Queremos V=1, ou seja
l|det(vec u,vec v,vec w)r|=6

Passo 2

Para achar det(vec u,vec v,vec w) formamos a matriz cujas colunas são vec u,vec v,vec w e calculamos o determinante:
det 1 & 2 & 0 1 & x & 1 1 & -1 & -1 =1cdotdetx&1-1&-1 -2cdotdet1&11&-1 +0cdot(cdots)
Agora
detx&1-1&-1 =xcdot(-1)-1cdot(-1)=-x+1, det1&11&-1 =1cdot(-1)-1cdot1=-2
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det(vec u,vec v,vec w)=(-x+1)-2cdot(-2)=-x+1+4=5-x

Passo 3

Impondo l|det(vec u,vec v,vec w)r|=6
|5-x|=6 Longrightarrow 5-x=6;Rightarrow;x=-1, 5-x=-6;Rightarrow;x=11

Resposta

Os valores de x são -1 ou 11.

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