Determine a interseção entre os planos pi 1: x+y+z=1 e pi 2: x-y+z=3.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos pi1: x+y+z=1 e pi2: x-y+z=3. O objetivo é achar a reta que é a interseção desses planos, usando conceitos de geometria analítica: vetor normal, produto vetorial e parametrização de reta.

Passo 2

Os vetores normais são
n1=(1,1,1) para pi1 e
n2=(1,-1,1) para pi2.
O vetor diretor da reta de interseção é dado pelo produto vetorial
v = n1 times n2 = (1,1,1)times(1,-1,1) = (1cdot1 - 1cdot(-1),,1cdot1 - 1cdot1,,1cdot(-1) - 1cdot1) = (2,0,-2)

Passo 3

Para achar um ponto P na reta, subtraímos as equações dos planos:
(x - x) + (-y - y) + (z - z) = 3 - 1 ;Longrightarrow;-2y = 2 ;Longrightarrow;y = -1
Substituindo y=-1 em pi1:
x + (-1) + z = 1 ;Longrightarrow;x + z = 2
Escolhendo z=0 (parâmetro conveniente), obtemos x=2. Logo,
P = (2,-1,0)
é um ponto da reta.

Passo 4

Com P=(2,-1,0) e o vetor diretor v=(2,0,-2), a equação paramétrica da reta é
ell:;(x,y,z) = (2,-1,0) + t,(2,0,-2), tinR
Podemos simplificar o vetor diretor dividindo por 2:
ell:;(x,y,z) = (2,-1,0) + t,(1,0,-1), tinR

Resposta

ell:;(x,y,z) = (2,-1,0) + t,(1,0,-1), tinR

Exercícios relacionados