Determine a interseção das quádricas S_{1}: y=\frac{z^{2}}{4} e S_{2}: z=-\frac{y^{2}}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a interseção das quadráticas S_{1}\colon y=\frac{z^{2}}{4} e S_{2}\colon z=-\frac{y^{2}}{4}, ou seja, o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas duas equações. Para resolver, vamos substituir a expressão de y de S_{1} em S_{2} e depois determinar z, y e observar como fica x.

Passo 2

Da equação de S_{1} temos
y = \frac{z^{2}}{4}.
Substituindo esse y em S_{2}\colon z = -\frac{y^{2}}{4}, obtemos uma equação só em z.

Passo 3

Substituindo \displaystyle y=\frac{z^{2}}{4} em S_{2}
z = -\frac{1}{4}\Bigl(\frac{z^{2}}{4}\Bigr)^{2} = -\frac{z^{4}}{64}.
Reescrevendo,
z + \frac{z^{4}}{64} = 0.

Passo 4

Fatorando z na equação anterior, temos
z\Bigl(1 + \frac{z^{3}}{64}\Bigr) = 0,
logo as soluções são
z = 0 \quad\text{ou}\quad 1 + \frac{z^{3}}{64} = 0 \implies z^{3} = -64 \implies z = -4.

Passo 5

Para cada valor de z calculamos y pela equação de S_{1}: se z=0, então
y = \frac{0^{2}}{4} = 0;
se z=-4, então
y = \frac{(-4)^{2}}{4} = 4.

Passo 6

Não há restrição sobre x, de modo que x permanece livre em \mathbb{R}. Portanto a interseção consiste em duas retas paralelas ao eixo x:
L_{1}: \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}, \quad L_{2}: \{(x,4,-4)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Resposta

A interseção de S_{1} e S_{2} é a união das retas
\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \quad\text{e}\quad \{(x,4,-4)\mid x\in\mathbb{R}\}.

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