Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em Im. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
1, ln (2 x), ln (x^2).

Passo 1

Temos o conjunto de funções
f1(x)=1,;f2(x)=ln(2x),;f3(x)=ln(x^2)
definidas em um intervalo IsubseteqR^+, pois fazemos x>0 para os logaritmos estarem bem definidos. Queremos testar se existe combinação linear não trivial
a,f1(x)+b,f2(x)+c,f3(x)equiv0
em todo I. Se só a combinação trivial a=b=c=0 anula identicamente a soma, são linearmente independentes; caso contrário, são dependentes.

Passo 2

Escrevemos a combinação e usamos as identidades
ln(2x)=ln2+ln x e ln(x^2)=2ln x. Assim
a + b,ln(2x) + c,ln(x^2) = a + b(ln2+ln x) + c,(2ln x) = l(a + bln2r) + l(b + 2cr),ln x

Passo 3

Para que
l(a + bln2r) + l(b + 2cr),ln x equiv 0 para todo xin I,
precisamos ter simultaneamente
a + bln2 = 0, b + 2c = 0
Isso permite soluções não-triviais (por exemplo b=2, c=-1, a=-2ln2), logo as três funções são linearmente dependentes.

Passo 4

Isolando ln(x^2) numa combinação das outras duas, podemos escolher b=2, c=-1 e a=-2ln2. A relação fica
-2ln2cdot1 ;+;2,ln(2x);-;1cdotln(x^2);=;0 Longrightarrow ln(x^2) = 2,ln(2x) - 2ln2

Resposta

As funções são linearmente dependentes. Em particular,
ln(x^2) = 2,ln(2x) - 2ln2

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