Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em
. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
.
Passo 1
Temos o conjunto de funções
definidas em um intervalo , pois fazemos
para os logaritmos estarem bem definidos. Queremos testar se existe combinação linear não trivial
definidas em um intervalo
em todo
. Se só a combinação trivial
anula identicamente a soma, são linearmente independentes; caso contrário, são dependentes.
Passo 2
Escrevemos a combinação e usamos as identidades
e
. Assim
Passo 3
Para que
precisamos ter simultaneamente
Isso permite soluções não-triviais (por exemplo
,
,
), logo as três funções são linearmente dependentes.
Passo 4
Isolando
numa combinação das outras duas, podemos escolher
,
e
. A relação fica
Resposta
As funções são linearmente dependentes. Em particular,