Determine a intersecção da qrádrica \frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1 com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
z=0

Passo 1

O enunciado pede a interseção da quádricas
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}+z^{2}=1
com o plano z=0. O conteúdo aqui é seccionar uma superfície de segundo grau por um plano e interpretar a curva resultante no plano xy.

Passo 2

Substituindo z=0 na equação da quáddrica, obtemos a equação da curva no plano xy:
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1.
Esse é o caso canônico de uma hipérbole centrada na origem, pois há diferença de quadrados igual a uma constante positiva.

Passo 3

Para caracterizar a hipérbole, achamos os vértices e as assíntotas:
  1. Vértices: colocamos y=0, então
\frac{x^{2}}{4}=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
Os vértices são (2,0,0) e (-2,0,0).
  1. Assíntotas: na região de grande \lvert x\rvert e \lvert y\rvert, desprezamos o “ -1” e obtemos
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{x}{2}.
Portanto, as assíntotas são as retas y=\tfrac{x}{2} e y=-\tfrac{x}{2} no plano z=0.

Passo 4

Esboço da curva no plano z=0:
  • Centro na origem (0,0,0).
  • Dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices (\pm2,0,0).
  • As assíntotas formam um “X” em torno da origem, com inclinações \pm\frac12.
 y
 ↑
 / \
 / \
---•-----•----→ x
 -\(22\)
 \ /
 \ /

Resposta

A interseção é a hipérbole
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1,\quad z=0,
com vértices em (\pm2,0,0) e assíntotas y=\pm\frac{x}{2}.

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