Determine a intersecção da qrádrica
com os planos indicados e faça um esboço da curva obtida.
Passo 1
O enunciado pede a interseção da quádricas
com o plano
. O conteúdo aqui é seccionar uma superfície de segundo grau por um plano e interpretar a curva resultante no plano
.
Passo 2
Substituindo
na equação da quáddrica, obtemos a equação da curva no plano
:
Esse é o caso canônico de uma hipérbole centrada na origem, pois há diferença de quadrados igual a uma constante positiva.
Passo 3
Para caracterizar a hipérbole, achamos os vértices e as assíntotas:
- Vértices: colocamos
, então
Os vértices são
e
.
- Assíntotas: na região de grande
e , desprezamos o “ ” e obtemos
Portanto, as assíntotas são as retas
e
no plano
.
Passo 4
Esboço da curva no plano
:
- Centro na origem
. - Dois ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando pelos vértices
. - As assíntotas formam um “X” em torno da origem, com inclinações
.
y
↑
/ \
/ \
---•-----•----→ x
-\(22\)
\ /
\ /
Resposta
A interseção é a hipérbole
com vértices em
e assíntotas
.