Determine um intervalo
onde a função
muda de sinal, garantindo a existência de uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede um intervalo
em que a função
muda de sinal, garantindo por isso a existência de uma raiz real segundo o Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano). Para isso precisamos usar que
é contínua e encontrar pontos
e
tais que
e
tenham sinais opostos.
Passo 2
Sabemos que a função
é contínua em
, pois é dada por operações (soma, produto, composição) de funções contínuas. Logo, o Teorema do Valor Intermediário pode ser aplicado em qualquer intervalo fechado.
Passo 3
Escolhemos, por exemplo,
Calculamos então:
Como
e
têm sinais opostos, existe mudança de sinal em
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua em
e
, então existe
tal que
. Aqui segue que existe
com
.
Resposta
Um intervalo que atende ao pedido é
.