Determine um intervalo [a, b] onde a função f(x)=cos (x) muda de sinal, garantindo a existência de uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo [a,b] em que a função f(x)=cos(x) muda de sinal, garantindo por isso a existência de uma raiz real segundo o Teorema do Valor Intermediário (ou de Bolzano). Para isso precisamos usar que cos(x) é contínua e encontrar pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 2

Sabemos que a função cos(x) é contínua em R, pois é dada por operações (soma, produto, composição) de funções contínuas. Logo, o Teorema do Valor Intermediário pode ser aplicado em qualquer intervalo fechado.

Passo 3

Escolhemos, por exemplo,
a = 0 e b = pi
Calculamos então:
f(0) = cos(0) = 1, f(pi) = cos(pi) = -1, f(0)cdot f(pi) = 1 times (-1) = -1 < 0
Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe mudança de sinal em [a,b].

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua em [a,b] e f(a),f(b)<0, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0. Aqui segue que existe cin(0,pi) com cos(c)=0.

Resposta

Um intervalo que atende ao pedido é
[0,pi].

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