Aplique o método da bisseção para encontrar uma raiz de f(x)=x 3-x-2 no intervalo [1,2]. Considere a precisão varepsilon=10^-1.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método da bisseção para encontrar uma raiz de f(x)=x^3 - x - 2 no intervalo [1,2] com precisão varepsilon = 10^-1. O método da bisseção exige que f seja contínua em [a,b] e que f(a),f(b)<0, garantindo ao menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Verificamos os sinais nos extremos:
f(1)=1^3-1-2=-2
f(2)=2^3-2-2=4
Como f(1),f(2)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

O número mínimo de iterações n para que o comprimento do intervalo seja menor que varepsilon satisfaz
b-a2^n<varepsilon Longrightarrow 2-12^n<0.1 Longrightarrow 2^n>10 Longrightarrow n=lceillog2(10)rceil=4

Passo 4

Vamos realizar quatro iterações do método da bisseção:
Na 1ª iteração, a1=1 e b1=2.
c1=a1+b12=1.5
f(c1)=1.5^3-1.5-2=-0.125
Como f(c1)<0, o novo intervalo é [a2,b2]=[c1,b1]=[1.5,2].
Na 2ª iteração, a2=1.5 e b2=2.
c2=a2+b22=1.75
f(c2)=1.75^3-1.75-2=1.609375
Como f(c2)>0, o novo intervalo é [a3,b3]=[a2,c2]=[1.5,1.75].
Na 3ª iteração, a3=1.5 e b3=1.75.
c3=a3+b32=1.625
f(c3)=1.625^3-1.625-2=0.666015625
Como f(c3)>0, o novo intervalo é [a4,b4]=[a3,c3]=[1.5,1.625].
Na 4ª iteração, a4=1.5 e b4=1.625.
c4=a4+b42=1.5625
f(c4)=1.5625^3-1.5625-2=0.2373046875
O comprimento do intervalo final é
b4-a4=1.625-1.5=0.125<0.1
Portanto alcançamos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é x approx 1.5625.

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