Mostre que a função f(x)=x^3-4 x+1 possui ao menos uma raiz no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=x^3-4x+1
tem ao menos uma raiz em [0,2]. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se f é contínua em [a,b] e f(a)cdot f(b)<0, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 2

Primeiro notamos que f(x) é um polinômio de grau 3, logo é contínua em todo R, e portanto em [0,2]. Assim podemos aplicar o Teorema de Bolzano nesse intervalo.

Passo 3

Vamos avaliar f em dois pontos de [0,2] para ver se há troca de sinal:
f(0)=0^3-4cdot0+1=1>0,
f(1)=1^3-4cdot1+1=1-4+1=-2<0
Como f(0)>0 e f(1)<0, temos f(0)cdot f(1)<0.

Passo 4

Pelo Teorema de Bolzano, de f(0)cdot f(1)<0 e da continuidade de f em [0,1] segue que existe cin(0,1)subset[0,2] tal que
f(c)=0

Resposta

A função f(x)=x^3-4x+1 possui ao menos uma raiz em [0,2], de fato em algum cin(0,1).

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