Mostre que a função
possui ao menos uma raiz no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
tem ao menos uma raiz em
. O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se
é contínua em
e
, então existe
tal que
.
Passo 2
Primeiro notamos que
é um polinômio de grau 3, logo é contínua em todo
, e portanto em
. Assim podemos aplicar o Teorema de Bolzano nesse intervalo.
Passo 3
Vamos avaliar
em dois pontos de
para ver se há troca de sinal:
Como
e
, temos
.
Passo 4
Pelo Teorema de Bolzano, de
e da continuidade de
em
segue que existe
tal que
Resposta
A função
possui ao menos uma raiz em
, de fato em algum
.