Determine o intervalo de convergência de cada série de potências abaixo.
sumn=1^infty (x-3)^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (x-3)^nraizn. Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para determinar onde a série converge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo geral an+1 e an quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, não conseguimos concluir nada, precisando de outro teste.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, an = (x-3)^nraizn. Agora, vamos encontrar an+1:
an+1 = (x-3)^n+1raizn+1

Passo 4

Agora, vamos montar a razão | an+1an |:
| an+1an | = | (x-3)^n+1raizn+1 cdot raizn(x-3)^n | = | (x-3) cdot raiznn+1 |

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
| (x-3) cdot raiznn+1 | = |x-3| cdot raiznn+1
Quando n tende ao infinito, nn+1 tende a 1, então raiznn+1 também tende a 1. Assim, o limite L fica:
L = limn to infty |x-3| cdot 1 = |x-3|

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que L < 1. Ou seja:
|x-3| < 1
Isso significa que x-3 deve estar entre -1 e 1:
-1 < x-3 < 1

Passo 7

Resolvendo essa desigualdade para x, adicionamos 3 em todas as partes:
-1 + 3 < x < 1 + 3 2 < x < 4

Resposta

O intervalo de convergência da série é 2 < x < 4.

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