Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que a série
converge uniformemente em todo o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass, que é uma ferramenta bem útil para verificar convergência uniforme de séries de funções. Vamos precisar entender esse critério e aplicar ele passo a passo na série que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério diz que se você tem uma série de funções
e existe uma sequência de números positivos
tal que para todo
no domínio considerado,
, e se a série
converge, então a série original
converge uniformemente no domínio.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, vamos identificar
. Precisamos encontrar um
que seja um limite superior para
em todo
.
Observando
, percebemos que
é sempre positivo, então podemos omitir o valor absoluto. Além disso,
para todo
, porque a exponencial negativa nunca excede 1.
Passo 4
Com isso, temos
para todo
. Então, podemos escolher
.
Agora, precisamos verificar se a série
converge.
Passo 5
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 6
Como encontramos
tal que
para todo
e a série
converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série
converge de maneira uniforme em
.
Resposta
Portanto, usando o Critério M de Weierstrass, mostramos que a série
é uniformemente convergente em todo o conjunto dos números reais
.