Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
sumn=1^infty e^-n x^2n^3 em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que a série converge uniformemente em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass, que é uma ferramenta bem útil para verificar convergência uniforme de séries de funções. Vamos precisar entender esse critério e aplicar ele passo a passo na série que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério diz que se você tem uma série de funções e existe uma sequência de números positivos tal que para todo no domínio considerado, , e se a série converge, então a série original converge uniformemente no domínio.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, vamos identificar . Precisamos encontrar um que seja um limite superior para em todo .
Observando , percebemos que é sempre positivo, então podemos omitir o valor absoluto. Além disso, para todo , porque a exponencial negativa nunca excede 1.

Passo 4

Com isso, temos para todo . Então, podemos escolher .
Agora, precisamos verificar se a série converge.

Passo 5

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 6

Como encontramos tal que para todo e a série converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série converge de maneira uniforme em .

Resposta

Portanto, usando o Critério M de Weierstrass, mostramos que a série é uniformemente convergente em todo o conjunto dos números reais .

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