Seja
I=integral0^1(integraly^2^1 y cos (x^2) d x) d y =integral dupla y cdot cos (x^2) d A
Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Entendendo o problema: temos a integral
I = integral0^1l(integraly^2^1 ycos(x^2),dxr)dy
O que o exercício pede é esboçar a região de integração e depois inverter a ordem de integração.

Passo 2

A partir dos limites internos e externos da integral original, vemos que
0 <= y <= 1, y^2 <= x <= 1
Isso significa que a região A é o conjunto de pontos entre a parábola x = y^2, a reta vertical x = 1 e as linhas y=0 e y=1.

Passo 3

Na teoria de integrais duplas, para trocar a ordem de integração, projetamos A no eixo x. A parábola x=y^2 vai de x=0 (quando y=0) até x=1 (quando y=1). Assim, para cada x em [0,1], o y correspondente varia de

até
.

Passo 4

Com esses novos limites, a integral invertida fica:

Passo 5

I = integral0^1l(integral0^raizx ycos(x^2),dyr)dx

Resposta

I = integral0^1integral0^raizx ycos(x^2),dy,dx

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