Seja E o sólido que é delimitado pelo parte do cilindro x^2+y^2=4, y >= 0, pelo plano y=0, abaixo do paraboloide z=2+x^2+y^2 e asima do plano z=0.
Calcule o volume de E.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume! A pergunta pede para calcular o volume de um sólido $ E $ que é limitado por um cilindro, um plano, um paraboloide e o plano $ z = 0 $. Vamos precisar usar integração múltipla, especificamente coordenadas cilíndricas, porque o cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $ sugere que usar esse sistema facilita a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $ tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo $ z $. Como temos $ y \geq 0 $, estamos considerando apenas a metade do cilindro onde o $ y $ é positivo. O paraboloide $ z = 2 + x^{2} + y^{2} $ está acima do plano $ z = 0 $, o que significa que nossa região sólida está entre esses limites.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas porque elas simplificam as equações. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. A equação do cilindro $ x^{2} + y^{2} = 4 $ fica $ r = 2 $. E como $ y \geq 0 $, o ângulo $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $:
  • $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $ (porque $ y \geq 0 $).
  • $ r $ varia de $ 0 $ a $ 2 $ (raio do cilindro).
  • $ z $ varia do plano $ z = 0 $ até o paraboloide $ z = 2 + r^{2} $.

Passo 5

A integral para calcular o volume $ V $ será:
V
Aqui, o $ r $ multiplicando é o fator de Jacobiano que aparece quando mudamos para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z
Então, a integral fica:
integral0^2 + r^2 dz = z |0^2 + r^2 = 2 + r^2

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
r

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido $ E $ é $ 8\pi $ unidades cúbicas.

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