Determine o intervalo de convergência de cada série de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir o intervalo em que a série de potências converge. A gente vai precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos aqui. Ela é uma série de potências centrada em , ou seja, a cada termo, a gente tem . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série soma um valor finito, ou seja, onde ela converge.
Passo 3
Para isso, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 4
Vamos calcular a razão entre o termo de ordem e o termo de ordem :
Agora, vamos calcular o limite desse valor quando n vai para o infinito:
limn to infty | (x-2) cdot n3(n+1) | = | x-23 |
Passo 6
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| x-23 | < 1
Passo 7
Vamos resolver essa inequação:
|x-2| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 2 < 3
Adicionando 2 em todos os lados:
-1 < x < 5
Passo 8
Então, o raio de convergência é 3 e o centro da série é 2. O intervalo de convergência é de x = -1 até x = 5. Mas precisamos checar os pontos finais para ver se a série converge nesses valores.