Determine o intervalo de convergência de cada série de potências abaixo.
sumn=1^infty (x-2)^nn 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir o intervalo em que a série de potências sumn=1^infty (x-2)^nn 3^n converge. A gente vai precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bacana para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui. Ela é uma série de potências centrada em x=2, ou seja, a cada termo, a gente tem (x-2)^n. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série soma um valor finito, ou seja, onde ela converge.

Passo 3

Para isso, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série quando n tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 4

Vamos calcular a razão entre o termo de ordem n+1 e o termo de ordem n:
limn to infty | an+1an |
Onde an = (x-2)^nn 3^n. Então:
an+1an = (x-2)^n+1(n+1) 3^n+1(x-2)^nn 3^n = (x-2) cdot n3(n+1)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando n vai para o infinito:
limn to infty | (x-2) cdot n3(n+1) | = | x-23 |

Passo 6

Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| x-23 | < 1

Passo 7

Vamos resolver essa inequação:
|x-2| < 3
Isso significa que:
-3 < x - 2 < 3
Adicionando 2 em todos os lados:
-1 < x < 5

Passo 8

Então, o raio de convergência é 3 e o centro da série é 2. O intervalo de convergência é de x = -1 até x = 5. Mas precisamos checar os pontos finais para ver se a série converge nesses valores.

Passo 9

Vamos verificar x = -1:
sumn=1^infty (-1-2)^nn 3^n = sumn=1^infty (-3)^nn 3^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada harmônica, que converge.
Agora, vamos verificar x = 5:
sumn=1^infty (5-2)^nn 3^n = sumn=1^infty 3^nn 3^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 <= x < 5.

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