Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados. em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem esse exercício que pede para usar o Critério M de Weierstrass para mostrar que a série abaixo converge uniformemente no intervalo [2, +∞):
Então, vamos precisar entender o que é o Critério M de Weierstrass e como aplicá-lo para provar a convergência uniforme dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Critério M de Weierstrass. Esse critério nos ajuda a determinar se uma série de funções converge uniformemente em um determinado intervalo. A ideia é encontrar uma sequência de números $ M_n $ que sejam maiores ou iguais ao valor absoluto de cada termo da série para todo $ x $ no intervalo, ou seja:
E se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} M_n $ converge, então a série $ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) $ converge uniformemente no intervalo.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série:
Queremos encontrar $ M_n $ tal que:
Passo 4
Observando $ f_n(x) = \frac{1}{1 + x^{n}} $, como $ x \geq 2 $, o denominador $ 1 + x^{n} $ é sempre maior ou igual a $ x^{n} $. Então podemos escrever:
fn(x) = 11 + x^n
Passo 5
Agora, sabemos que $ x \geq 2 $, então $ x^{n} \geq 2^{n} $. Assim, temos:
x >= 2
Portanto, podemos escolher $ M_n = \frac{1}{2^{n}} $, já que:
x^n >= 2^n
Passo 6
Agora, vamos verificar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} M_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} $ converge. Essa é uma série geométrica com razão $ \frac{1}{2} $, que sabemos que converge para 1:
sumn=1^infty Mn = sumn=1^infty 12^n
Passo 7
Como encontramos $ M_n = \frac{1}{2^{n}} $ tal que $ \left| \frac{1}{1 + x^{n}} \right| \leq M_n $ para todo $ x \geq 2 $ e a série $ \sum M_n $ converge, pelo Critério M de Weierstrass, concluímos que a série original converge uniformemente no intervalo [2, +∞).
Resposta
A série sumn=1^infty 11 + x^n converge uniformemente no intervalo [2, +infty[ pelo Critério M de Weierstrass.