Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- O termo geral é
. - A pergunta é: para quais valores de
a série converge?
Passo 2
Qual método usar? Aqui o teste da raiz (teste de Cauchy) adapta-se muito bem porque os termos têm a forma
. Vou aplicar o teste da raiz, que diz o seguinte:
Vou calcular
e seu limite quando
.
Passo 3
Calcular a raiz
-ésima do termo geral:
Logo precisamos do limite
Vou estudar esse limite.
Passo 4
Para avaliar
uso a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para fatoriais grandes), que diz:
isto é,
quando
. Substituindo:
Tomando a raiz
-ésima,
Agora note que
. Como
quando
, segue que
. Portanto
Passo 5
Voltando ao teste da raiz:
Pelo teste, a série converge se
, isto é, se
. Diverge se
. Assim a convergência absoluta ocorre para
e não há convergência absoluta para
.
Passo 6
Falta analisar os pontos extremos
e
.
Para
o termo geral fica
Usando novamente Stirling:
Logo
quando
. Em particular
, então a série não pode convergir (teste do termo geral). Portanto a série diverge em
.
Para
o termo geral é
O módulo
tem o mesmo comportamento que acima e tende a
, por isso
e então
. Portanto a série também diverge em
(nem mesmo a alternância salva, porque o termo geral não tende a zero).
Passo 7
Conclusão: a série converge para
e diverge para
. Ou seja, o intervalo de convergência é o intervalo aberto
.