Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
k) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • O termo geral é a_n(x)=\dfrac{n!}{n^{n}} x^{n}.
  • A pergunta é: para quais valores de x a série converge?

Passo 2

Qual método usar? Aqui o teste da raiz (teste de Cauchy) adapta-se muito bem porque os termos têm a forma b_n x^n. Vou aplicar o teste da raiz, que diz o seguinte:
\text{se }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}, \quad\text{então a série converge se }L<1\text{ e diverge se }L>1.ãé
Vou calcular \sqrt[n]{|a_n(x)|} e seu limite quando n\to\infty.

Passo 3

Calcular a raiz n-ésima do termo geral:
\sqrt[n]{|a_n(x)|} = \sqrt[n]{\frac{n!}{n^{n}}\,|x|^{n}} = \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n} |x|.
Logo precisamos do limite
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n}.
Vou estudar esse limite.

Passo 4

Para avaliar \left(\dfrac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n} uso a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para fatoriais grandes), que diz:
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n},
isto é, \dfrac{n!}{\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n}\to1 quando n\to\infty. Substituindo:
\frac{n!}{n^{n}} \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\frac{1}{n^{n}} = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{1}{e}\right)^{n}.
Tomando a raiz n-ésima,
\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n} \sim (\sqrt{2\pi n})^{1/n}\cdot\frac{1}{e}.
Agora note que (\sqrt{2\pi n})^{1/n} = (2\pi n)^{1/(2n)}. Como \ln(2\pi n)/(2n)\to0 quando n\to\infty, segue que (2\pi n)^{1/(2n)}\to1. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n} = \frac{1}{e}.

Passo 5

Voltando ao teste da raiz:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=\frac{1}{e}|x|.
Pelo teste, a série converge se \dfrac{|x|}{e}<1, isto é, se |x|<e. Diverge se |x|>e. Assim a convergência absoluta ocorre para |x|<e e não há convergência absoluta para |x|>e.

Passo 6

Falta analisar os pontos extremos x=e e x=-e.
Para x=e o termo geral fica
a_n(e)=\frac{n!}{n^{n}} e^{n}=n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
Usando novamente Stirling:
n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n}\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\left(\frac{e}{n}\right)^{n}=\sqrt{2\pi n}.
Logo a_n(e)\to\infty quando n\to\infty. Em particular a_n(e)\not\to0, então a série não pode convergir (teste do termo geral). Portanto a série diverge em x=e.
Para x=-e o termo geral é
a_n(-e)=\frac{n!}{n^{n}}(-e)^{n}=(-1)^{n}n!\left(\frac{e}{n}\right)^{n}.
O módulo |a_n(-e)| tem o mesmo comportamento que acima e tende a \sqrt{2\pi n}, por isso |a_n(-e)|\not\to0 e então a_n(-e)\not\to0. Portanto a série também diverge em x=-e (nem mesmo a alternância salva, porque o termo geral não tende a zero).

Passo 7

Conclusão: a série converge para |x|<e e diverge para |x|\ge e. Ou seja, o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-e,e).

Resposta

(-e,e)

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