Determine o intervalo de convergência em cada uma das séries abaixo:
sumn=1^infty 4(x+1)^nn^2

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty 4(x+1)^nn^2, que é uma série de potências centrada em x=-1. Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos pontos extremos.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Seja an=4(x+1)^nn^2. Calculamos
L=limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|4(x+1)^n+1/(n+1)^24(x+1)^n/n^2|=limntoinfty|x+1|n^2(n+1)^2=|x+1|

Passo 3

Para convergência precisamos de L<1, ou seja |x+1|<1. Isso dá o raio de convergência R=1 e o intervalo aberto de convergência
-1-1 < x < -1+1 Longrightarrow -2 < x < 0

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=0 a série vira sum 4/ n^2, que é uma p-série com p=2>1, logo converge.

Passo 5

Para x=-2 a série vira sum 4(-1)^n / n^2, que também converge absolutamente (mesmo p-série). Portanto ambos os extremos entram no intervalo.

Passo 6

Assim, o intervalo de convergência é fechado de -2 até 0.

Resposta

[-2,0]

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