Determine o intervalo de convergência em cada uma das séries abaixo:
Passo 1
A série dada é , que é uma série de potências centrada em . Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos pontos extremos.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Seja . Calculamos
Passo 3
Para convergência precisamos de L<1, ou seja |x+1|<1. Isso dá o raio de convergência R=1 e o intervalo aberto de convergência
-1-1 < x < -1+1 Longrightarrow -2 < x < 0
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Para x=0 a série vira sum 4/ n^2, que é uma p-série com p=2>1, logo converge.
Passo 5
Para x=-2 a série vira sum 4(-1)^n / n^2, que também converge absolutamente (mesmo p-série). Portanto ambos os extremos entram no intervalo.
Passo 6
Assim, o intervalo de convergência é fechado de -2 até 0.