Nos exercícios seguintes encontre os valores extremos de f em D subset R^2
16.

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores extremos de f(x,y)=x^2+2x+y^2-2y no retângulo fechado D=(x,y)in R^2:0<= x<=3,,0<= y<=3. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis em um domínio compacto, usando pontos críticos internos e análise das fronteiras.

Passo 2

Calculemos primeiro os pontos críticos internos. O gradiente é
nabla f(x,y)=(2x+2,,2y-2)
Igualando a zero temos
2x+2=0Rightarrow x=-1,
2y-2=0Rightarrow y=1
Como (-1,1)notin D, não há extremos internos.

Passo 3

Agora analisamos cada aresta de D:
  1. Aresta x=0,;0<= y<=3:
g1(y)=f(0,y)=y^2-2y,
g1'(y)=2y-2=0Rightarrow y=1in[0,3]
Valores em y=1,0,3:
f(0,1)=-1,;f(0,0)=0,;f(0,3)=3
2) Aresta x=3,;0<= y<=3:
$$
g_2(y)=f(3,y)=15+y^2-2y,
$$
g2(y)=f(3,y)=15+y^2-2y,
Valores em g2'(y)=2y-2=0Rightarrow y=1 :
y=1,0,3
3) Aresta f(3,1)=14,;f(3,0)=15,;f(3,3)=18:
$$
g_3(x)=f(x,0)=x^2+2x,
$$
y=0,;0<= x<=3
Valores em g3(x)=f(x,0)=x^2+2x, :
g3'(x)=2x+2=0Rightarrow x=-1notin[0,3]
4) Aresta x=0,3:
$$
g_4(x)=f(x,3)=x^2+2x+3,
$$
f(0,0)=0,;f(3,0)=15
Valores em y=3,;0<= x<=3:
g4(x)=f(x,3)=x^2+2x+3,

Passo 4

Comparando todos os candidatos, os menores valores de f são -1,0,3,14,15,18. O mínimo é -1) em (0,1) e o máximo é 18 em (3,3).

Resposta

Valor mínimo de f é -1 em (0,1) e valor máximo de f é 18 em (3,3).

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