Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
19. f(x, y)=4 x+3 y com x^2+y^2=25

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função f(x,y)=4x+3y sujeita à condição x^2+y^2=25. O conteúdo aqui é otimização com restrição – vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Construímos o Lagrangeano L(x,y,lambda)=4x+3y-lambda(x^2+y^2-25). A partir dele, escrevemos as equações de condição estacionária:
partialLpartial x=4-2lambda x=0, partialLpartial y=3-2lambda y=0, partialLpartiallambda=-(x^2+y^2-25)=0

Passo 3

Das duas primeiras equações temos 4=2lambda x e 3=2lambda y, ou seja
$$x=\frac{4}{2\lambda}=\frac{2}{\lambda},\
y=\frac{3}{2\lambda}.$$

Passo 4

Substituindo estas expressões em x^2+y^2=25
$$\Bigl(\frac{2}{\lambda}\Bigr)2+\Bigl(\frac{3}{2\lambda}\Bigr)2=25.
$$ Simplificando,
l(2lambdar)^2+l(32lambdar)^2=25

Passo 5

Logo lambda=pmtfrac12. Para cada caso: quando lambda=tfrac12, temos x=4, y=3. Quando lambda=-tfrac12, temos x=-4, y=-3.

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos: f(4,3)=4cdot4+3cdot3=25 e f(-4,-3)=4(-4)+3(-3)=-25. Então o ponto (4,3) é máximo e (-4,-3) é mínimo.

Resposta

Máximo de 25 em (4,3) e mínimo de -25 em (-4,-3).

Exercícios relacionados