Nos exercícios a seguir encontre os extremos da função sujeito a condição dada
19.
19.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos da função
sujeita à condição
. O conteúdo aqui é otimização com restrição – vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Construímos o Lagrangeano
. A partir dele, escrevemos as equações de condição estacionária:
Passo 3
Das duas primeiras equações temos
e
, ou seja
$$x=\frac{4}{2\lambda}=\frac{2}{\lambda},\
y=\frac{3}{2\lambda}.$$
Passo 4
Substituindo estas expressões em
dá
$$\Bigl(\frac{2}{\lambda}\Bigr)2+\Bigl(\frac{3}{2\lambda}\Bigr)2=25.
$$ Simplificando,
Passo 5
Logo
. Para cada caso: quando
, temos
,
. Quando
, temos
,
.
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos:
e
. Então o ponto
é máximo e
é mínimo.
Resposta
Máximo de
em
e mínimo de
em
.