Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
02) sum0^infty x^n+1n+1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a série de potências
sumn=0^inftyx^n+1n+1,
Matéria: séries de potências.
O que precisamos:
  • usar o teste da razão para achar o raio de convergência;
  • depois testar o que acontece nas extremidades x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicando o teste da razão:
Definimos o termo geral
an = x^n+1n+1,
Então consideramos
|an+1an| =|x^(n+1)+1,n+2,,cdotn+1x^n+1| =;|x|;n+1n+2,
Quando ntoinfty, tfracn+1n+2to1. Logo
limntoinfty|an+1an| = |x|
Pelo teste da razão, converge se esse limite for <1. Portanto a série converge para
|x|<1
e diverge para |x|>1. O raio de convergência é R=1.

Passo 3

Testando x=1:
sumn=0^infty 1^n+1n+1 =sumn=0^infty 1n+1
é a série harmônica, que diverge. Logo em x=1 não converge.

Passo 4

Testando x=-1:
sumn=0^infty (-1)^n+1n+1
é a série harmônica alternada. Os termos 1n+1 vão a zero e diminuem em módulo, então pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Resposta

O intervalo de convergência é
-1 ;<= x <;1,
ou seja, boxed[-1,,1).

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