Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
02)
02)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem a série de potências
Matéria: séries de potências.
O que precisamos:
O que precisamos:
- usar o teste da razão para achar o raio de convergência;
- depois testar o que acontece nas extremidades
e .
Passo 2
Aplicando o teste da razão:
Definimos o termo geral
Definimos o termo geral
Então consideramos
Quando
ntoinfty ,
tfracn+1n+2to1 . Logo
Pelo teste da razão, converge se esse limite for
<1 . Portanto a série converge para
e diverge para
|x|>1 . O raio de convergência é
R=1 .
Passo 3
Testando
x=1 :
é a série harmônica, que diverge. Logo em
x=1 não converge.
Passo 4
Testando
x=-1 :
é a série harmônica alternada. Os termos
1n+1 vão a zero e diminuem em módulo, então pelo teste de Leibniz ela converge (condicionalmente).
Resposta
O intervalo de convergência é
ou seja,
boxed[-1,,1) .