Usando o método da bisseç̧ão, determine uma raiz da equação:
com a precisão
. Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma raiz da equação
usando o método da bissecção, com uma precisão bem fina de
. Primeiro, precisamos localizar um intervalo
de amplitude 1 que contenha o zero da função. Isso envolve entender um pouco sobre a função
e como aplicar o método da bissecção para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função
está definida para
, e
varia entre -1 e 1. Nosso objetivo é encontrar o valor de
onde
.
Passo 3
Vamos começar escolhendo um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja, onde
e
têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 4
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observamos que
é negativo e
é positivo. Então, o intervalo
contém uma raiz, pois a função muda de sinal nesse intervalo.
Passo 5
Agora, aplicaremos o método da bissecção no intervalo
. O método consiste em:
- Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Determinar em qual subintervalo
ou a função muda de sinal. - Repetir o processo no subintervalo escolhido até alcançar a precisão desejada.
Passo 6
Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
-
, -
-
- Como
e , a raiz está no intervalo .
Iteração 2:
-
, -
-
-
e , então a raiz está no intervalo .
Iteração 3:
-
, -
-
- Como
e , a raiz está no intervalo .
Passo 7
Continuando as iterações até alcançar a precisão de
:
Após várias iterações, repetindo esse processo de dividir o intervalo e verificar o sinal de
, chegaremos a um intervalo onde a raiz está localizada com a precisão desejada.
Resposta
A raiz da equação
encontrada pelo método da bissecção, com precisão
, é aproximadamente
.