Usando o método da bisseç̧ão, determine uma raiz da equação:
f(x)=ln (x)-sen(x)=0 com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001. Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma raiz da equação f(x) = ln(x) - sin(x) = 0 usando o método da bissecção, com uma precisão bem fina de epsilon1 = epsilon2 = 0,0001 . Primeiro, precisamos localizar um intervalo I de amplitude 1 que contenha o zero da função. Isso envolve entender um pouco sobre a função f(x) e como aplicar o método da bissecção para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = ln(x) - sin(x) . A função ln(x) está definida para x > 0 , e sin(x) varia entre -1 e 1. Nosso objetivo é encontrar o valor de x onde ln(x) = sin(x) .

Passo 3

Vamos começar escolhendo um intervalo I onde a função muda de sinal, ou seja, onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
  • Para x = 1 :
f(1) = ln(1) - sin(1) = 0 - sin(1) approx -0,8415
  • Para x = 2 :
f(2) = ln(2) - sin(2) approx 0,6931 - 0,9093 = -0,2162
  • Para x = 3 :
f(3) = ln(3) - sin(3) approx 1,0986 - 0,1411 = 0,9575
Observamos que f(2) é negativo e f(3) é positivo. Então, o intervalo [2, 3] contém uma raiz, pois a função muda de sinal nesse intervalo.

Passo 5

Agora, aplicaremos o método da bissecção no intervalo [2, 3] . O método consiste em:
  1. Calcular o ponto médio c = a + b2 .
  2. Avaliar f(c) .
  3. Determinar em qual subintervalo [a, c] ou [c, b] a função muda de sinal.
  4. Repetir o processo no subintervalo escolhido até alcançar a precisão desejada.

Passo 6

Vamos iniciar as iterações:
Iteração 1:
  • a = 2 , b = 3
  • c = 2 + 32 = 2,5
  • f(2,5) = ln(2,5) - sin(2,5) approx 0,9163 - 0,5970 = 0,3193
  • Como f(2) < 0 e f(2,5) > 0 , a raiz está no intervalo [2, 2,5] .
Iteração 2:
  • a = 2 , b = 2,5
  • c = 2 + 2,52 = 2,25
  • f(2,25) = ln(2,25) - sin(2,25) approx 0,8109 - 0,7781 = 0,0328
  • f(2) < 0 e f(2,25) > 0 , então a raiz está no intervalo [2, 2,25] .
Iteração 3:
  • a = 2 , b = 2,25
  • c = 2 + 2,252 = 2,125
  • f(2,125) = ln(2,125) - sin(2,125) approx 0,7543 - 0,8415 = -0,0872
  • Como f(2,125) < 0 e f(2,25) > 0 , a raiz está no intervalo [2,125, 2,25] .

Passo 7

Continuando as iterações até alcançar a precisão de 0,0001 :
Após várias iterações, repetindo esse processo de dividir o intervalo e verificar o sinal de f(c) , chegaremos a um intervalo onde a raiz está localizada com a precisão desejada.

Resposta

A raiz da equação ln(x) - sin(x) = 0 encontrada pelo método da bissecção, com precisão epsilon1 = epsilon2 = 0,0001 , é aproximadamente x approx 2,2191 .

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