( 2 pontos) Encontre em ponto dado
a) a equação do plano tangente de superfície do nível const,
b) a equação da reta ortogonal de superfície do nível,
c) para a função implícita , determinada por , encontre :
Passo 1
O enunciado pede pra gente trabalhar com a superfície de nível dada por no ponto . Vamos usar o conceito de gradiente para achar o plano tangente e a reta normal, e o teorema da diferenciação implícita para obter e , onde é dada implicitamente por .
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente geral de :
No nosso ponto , como , temos
Passo 3
Com o gradiente em , a equação do plano tangente fica:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
ou seja
Passo 4
A reta ortogonal à superfície de nível (reta normal) passa por e tem direção dada por . Em forma paramétrica:
Passo 5
Para achar as derivadas parciais de z=f(x,y) a partir de F(x,y,z)=3, usamos
fx=-FxFz, fy=-FyFz
Como Fx=x/raizx^2+y^2+z^2 e Fz=z/raizx^2+y^2+z^2, obtemos em geral:
fx=-xz, fy=-yz
No ponto P(1,2,2) isso dá
fx(1,2)=-12, fy(1,2)=-22=-1
Resposta
a) Plano tangente: x+2y+2z-9=0.
b) Reta normal: x=1+tfrac13t,;y=2+tfrac23t,;z=2+tfrac23t, tinR.
c) fx=-xz e fy=-yz, logo em P: fx(1,2)=-tfrac12, fy(1,2)=-1.