( 2 pontos) Encontre em ponto P dado
a) a equação do plano tangente de superfície do nível F(x, y, z)= const,
b) a equação da reta ortogonal de superfície do nível,
c) para a função implícita z=f(x, y), determinada por F, encontre partial fpartial x, partial fpartial y :
F(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2=3, P(1,2,2)

Passo 1

O enunciado pede pra gente trabalhar com a superfície de nível dada por F(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2=3 no ponto P(1,2,2). Vamos usar o conceito de gradiente para achar o plano tangente e a reta normal, e o teorema da diferenciação implícita para obter partial f/partial x e partial f/partial y, onde z=f(x,y) é dada implicitamente por F(x,y,f(x,y))=3.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente geral de F:
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =l(xraizx^2+y^2+z^2,yraizx^2+y^2+z^2,zraizx^2+y^2+z^2r)
No nosso ponto P(1,2,2), como raiz1^2+2^2+2^2=3, temos
nabla F(1,2,2)=l(13,23,23r)

Passo 3

Com o gradiente em P, a equação do plano tangente fica:
13(x-1)+23(y-2)+23(z-2)=0
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
x-1+2(y-2)+2(z-2)=0
ou seja
x+2y+2z-9=0

Passo 4

A reta ortogonal à superfície de nível (reta normal) passa por P e tem direção dada por nabla F(1,2,2). Em forma paramétrica:
x=1+13t, y=2+23t, z=2+23t, tinR

Passo 5

Para achar as derivadas parciais de z=f(x,y) a partir de F(x,y,z)=3, usamos
fx=-FxFz, fy=-FyFz
Como Fx=x/raizx^2+y^2+z^2 e Fz=z/raizx^2+y^2+z^2, obtemos em geral:
fx=-xz, fy=-yz
No ponto P(1,2,2) isso dá
fx(1,2)=-12, fy(1,2)=-22=-1

Resposta

a) Plano tangente: x+2y+2z-9=0.
b) Reta normal: x=1+tfrac13t,;y=2+tfrac23t,;z=2+tfrac23t, tinR.
c) fx=-xz e fy=-yz, logo em P: fx(1,2)=-tfrac12, fy(1,2)=-1.

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