Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
06) sum1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n+1,x^2n-1(2n-1)!
Vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência e, consequentemente, o intervalo de convergência.

Passo 2

Denote o termo geral por
an = (-1)^n+1,x^2n-1(2n-1)!
O termo seguinte é
an+1 = (-1)^(n+1)+1,x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! = (-1)^n+2,x^2n+1(2n+1)!
Aplicando o teste da razão, calculamos
|an+1an| = |x^2n+1(2n+1)!,(2n-1)!x^2n-1| = |x^2(2n)(2n+1)|

Passo 3

Note que
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|x|^22n(2n+1) = 0
Como esse limite é 0<1 para qualquer xinR, o raio de convergência é R=infty. Logo, a série converge para todos os valores reais de x.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

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