(2 pontos) Encontre extremos locais da função
sobre a curva
.
Especifica se eles sao máximos ou mínimos locais ou globais, se possível.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar extremos de
sobre a curva
dada por
. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar pontos estacionários e depois classificar como máximo ou mínimo.
Passo 2
Definimos a função de Lagrange
As condições de extremum exigem
Passo 3
Das duas primeiras equações vem
e
, logo
Juntando com
obtemos
Os candidatos são
e
. Os valores de
nesses pontos são
Passo 4
Para classificar, parametrizamos
por
,
. Então
Calculamos
As raízes de
são
. Em
temos
, logo mínimo local; como
para
ou
, esse mínimo é também global. Em
temos
, logo máximo local; e como
para
ou
, esse máximo é global.