(2 pontos) Encontre extremos locais da função f(x, y) sobre a curva C.
Especifica se eles sao máximos ou mínimos locais ou globais, se possível.
l f(x, y)=x+2 y C: x y=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar extremos de f(x,y)=x+2y sobre a curva C dada por xy=2. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar multiplicadores de Lagrange para achar pontos estacionários e depois classificar como máximo ou mínimo.

Passo 2

Definimos a função de Lagrange
L(x,y,lambda)=x+2y-lambdal(xy-2r)
As condições de extremum exigem
partial Lpartial x=1-lambda y=0,
partial Lpartial y=2-lambda x=0,
partial Lpartial lambda=xy-2=0

Passo 3

Das duas primeiras equações vem lambda=tfrac1y e lambda=tfrac2x, logo
1y=2xLongrightarrow x=2y
Juntando com xy=2 obtemos
(2y),y=2Longrightarrow2y^2=2Longrightarrow y^2=1Longrightarrow y=pm1,;x=2y
Os candidatos são (2,1) e (-2,-1). Os valores de f nesses pontos são
f(2,1)=2+2cdot1=4,
f(-2,-1)=-2+2cdot(-1)=-4

Passo 4

Para classificar, parametrizamos C por x=t, y=2/t. Então
f(t)=t+2cdot2t=t+4t
Calculamos
f'(t)=1-4t^2, f''(t)=8t^3
As raízes de f'(t)=0 são t=pm2. Em t=2 temos f''(2)=tfrac88=1>0, logo mínimo local; como f(t)to+infty para tto0^+ ou tto+infty, esse mínimo é também global. Em t=-2 temos f''(-2)=tfrac8-8=-1<0, logo máximo local; e como f(t)to-infty para tto0^- ou tto-infty, esse máximo é global.

Resposta

(2,1) é mínimo local e global com valor f(2,1)=4.
(-2,-1) é máximo local e global com valor f(-2,-1)=-4.

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