(2 pontos) Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar as derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, aplicar o critério de Hess para classificá-los.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
Passo 3
Resolvendo o sistema
da primeira equação vem y=6x^2. Substituindo na segunda,
x = 6l(6x^2r)^2 = 6cdot36,x^4 = 216,x^4
Isso dá
xl(216x^3 - 1r)=0
logo x=0 ou 216x^3=1Rightarrow x=tfrac16. Para cada caso:
Se x=0, então y=6cdot0^2=0, ponto (0,0).
Se x=tfrac16, então y=6l(tfrac16r)^2 = tfrac16, ponto l(tfrac16,tfrac16r).
Passo 4
Agora o critério de Hess. As segundas derivadas são
fxx=12x, fyy=12y, fxy=fyx=-1
Definimos o discriminante
D(x,y)=fxx,fyy - l(fxyr)^2
Em cada ponto:
Em (0,0): fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0 e D(0,0)=0cdot0 - (-1)^2 = -1 <0.
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
Em l(tfrac16,tfrac16r): fxx=12cdottfrac16=2>0, fyy=2>0 e Dl(tfrac16,tfrac16r) =2cdot2 - 1 = 3 >0 Como D>0 e fxx>0, é mínimo local.
Não aparece nenhum ponto com fxx<0 e D>0, logo não há máximos locais.
Resposta
Mínimo local em l(tfrac16,tfrac16r).
Ponto de sela em (0,0).
Não há máximos locais.