(2 pontos) Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função:
f(x, y)=2 x^3+2 y^3-x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
f(x,y)=2x^3+2y^3 - xy
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar as derivadas parciais para achar os pontos críticos e, em seguida, aplicar o critério de Hess para classificá-los.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
partial fpartial x = 6x^2 - y = 0,
partial fpartial y = 6y^2 - x = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema
6x^2 - y = 0, 6y^2 - x = 0,
da primeira equação vem y=6x^2. Substituindo na segunda,
x = 6l(6x^2r)^2 = 6cdot36,x^4 = 216,x^4
Isso dá
xl(216x^3 - 1r)=0
logo x=0 ou 216x^3=1Rightarrow x=tfrac16. Para cada caso:
  • Se x=0, então y=6cdot0^2=0, ponto (0,0).
  • Se x=tfrac16, então y=6l(tfrac16r)^2 = tfrac16, ponto l(tfrac16,tfrac16r).

Passo 4

Agora o critério de Hess. As segundas derivadas são
fxx=12x, fyy=12y, fxy=fyx=-1
Definimos o discriminante
D(x,y)=fxx,fyy - l(fxyr)^2
Em cada ponto:
  • Em (0,0):
    fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0 e D(0,0)=0cdot0 - (-1)^2 = -1 <0.
    Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
  • Em l(tfrac16,tfrac16r):
    fxx=12cdottfrac16=2>0, fyy=2>0 e Dl(tfrac16,tfrac16r) =2cdot2 - 1 = 3 >0 Como D>0 e fxx>0, é mínimo local.
Não aparece nenhum ponto com fxx<0 e D>0, logo não há máximos locais.

Resposta

Mínimo local em l(tfrac16,tfrac16r).
Ponto de sela em (0,0).
Não há máximos locais.

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