Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
07)
07)
Passo 1
Resumo do exercício:
Tens a série de potências
Tens a série de potências
Conteúdo da matéria: séries de potências, raio de convergência e testes de convergência (raiz, p-série, Leibniz).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Reescrever a série no formato
- Usar o teste da raiz para achar o raio
- Testar os extremos
e (p-série e, se fosse alternante, Leibniz)
Passo 2
Primeiro, ponho no formato padrão
. Faço a troca
, então
. Quando
vem
, e a soma vira
Aqui
e o centro é
.
Passo 3
Agora uso o teste da raiz. A ideia é calcular
Como
(k+1)^-2/kto1 quando
ktoinfty , o resultado do teste é
Para convergir, esse limite tem que ser
<1 . Logo o raio de convergência é
Passo 4
Do critério
|x+2|<1 vem o intervalo aberto central:
Passo 5
Testando
x=-3 : então
x+2=-1 e a série vira
Em módulo é
sum 1/n^2 , que converge (p-série com
p=2>1 ). Logo aqui a convergência é absoluta, e portanto converge em
x=-3 .
Passo 6
Testando
x=-1 : aí
x+2=1 e a série fica
que também converge (p-série com
p=2>1 ). Portanto converge em
x=-1 .
Resposta
O intervalo de convergência da série é