Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
07) sum1^infty (x+2)^n-1n^2

Passo 1

Resumo do exercício:
Tens a série de potências
sumn=1^infty (x+2)^n-1n^2
Conteúdo da matéria: séries de potências, raio de convergência e testes de convergência (raiz, p-série, Leibniz).
O que vamos precisar:
  • Reescrever a série no formato sum ak(x-c)^k
  • Usar o teste da raiz para achar o raio R
  • Testar os extremos x=-3 e x=-1 (p-série e, se fosse alternante, Leibniz)

Passo 2

Primeiro, ponho no formato padrão sumk=0^infty ak(x+2)^k. Faço a troca k=n-1, então n=k+1. Quando n=1 vem k=0, e a soma vira
sumk=0^infty (x+2)^k(k+1)^2,
Aqui ak = 1(k+1)^2 e o centro é x0=-2.

Passo 3

Agora uso o teste da raiz. A ideia é calcular
limktoinftyraiz[k]l|ak,(x+2)^kr| =limktoinftyraiz[k]|x+2|^k(k+1)^2 =|x+2|;limktoinfty(k+1)^-2/k
Como (k+1)^-2/kto1 quando ktoinfty, o resultado do teste é
limktoinftyraiz[k]|ak(x+2)^k|=|x+2|
Para convergir, esse limite tem que ser <1. Logo o raio de convergência é
R=1,ou seja |x+2|<1

Passo 4

Do critério |x+2|<1 vem o intervalo aberto central:
-1 < x+2 < 1 Longrightarrow -3 < x < -1

Passo 5

Testando x=-3: então x+2=-1 e a série vira
sumn=1^infty (-1)^,n-1n^2
Em módulo é sum 1/n^2, que converge (p-série com p=2>1). Logo aqui a convergência é absoluta, e portanto converge em x=-3.

Passo 6

Testando x=-1: aí x+2=1 e a série fica
sumn=1^infty 1n^2,
que também converge (p-série com p=2>1). Portanto converge em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
boxed[-3,,-1]

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