Mostre que
o único número primo da forma n^3+1 é 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o único número primo da forma n^3+1 é 2. Para isso vamos usar a fatoração de soma de cubos.

Passo 2

A identidade de soma de cubos garante que
n^3 + 1 = (n + 1),(n^2 - n + 1)

Passo 3

Para n >= 2 temos n+1>=3 e
n^2 - n + 1 = n(n-1) + 1 >= 2cdot1 + 1 = 3,
logo ambos os fatores são maiores que 1, o que implica que n^3 + 1 é composto sempre que n>=2.

Passo 4

Analisando os casos menores, para n=1 obtemos
1^3 + 1 = 2,
que é primo; para n=0 e n<0 o valor n^3+1 não gera um primo positivo. Concluímos então que o único número primo da forma n^3 + 1 é 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados