Mostre que:
a) lim x 0|x|=0.
b) lim x 0 |x|x não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre limites envolvendo a função valor absoluto. O conteúdo é definição de limite ( epsilon de<a) e limites laterais. Vamos usar a definição formal de limite para a parte (a) e comparar limites laterais para a parte (b).

Passo 2

Para provar que limxto0|x|=0 usamos a definição epsilon de<a: dado varepsilon>0, basta escolher
de<a = varepsilon
Então, sempre que 0<|x-0|<de<a temos
|,|x|-0| = |x| < de<a = varepsilon
Isso mostra que limxto0|x|=0.

Passo 3

Para a parte (b) analisamos a função
f(x) = |x|x
Repare que, para x>0, |x|x=1, e para x<0, |x|x=-1. A função não está definida em x=0.

Passo 4

Limite pela direita ( xto0^+): como para todo x>0 suficientemente próximo de 0 vale f(x)=1, segue que
limxto0^+|x|x = 1

Passo 5

Limite pela esquerda ( xto0^-): como para todo x<0 suficientemente próximo de 0 vale f(x)=-1, segue que
limxto0^-|x|x = -1

Passo 6

Como limxto0^+|x|x=1 e limxto0^-|x|x=-1 são diferentes, o limite limxto0|x|x não existe.

Resposta

(a) 0
(b) não existe

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