Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum1^infty 13 n-1(x3+23)^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 13n-1l(x3+23r)^n
O conteúdo é análise de séries de potências usando o teste da razão para obter o raio de convergência e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Reescrevemos a série em forma padrão. Defina
t = x3 + 23 = x+23
Então a série fica
sumn=1^infty an,t^n com an = 13n-1

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em t:
L = limntoinfty l|an+1anr| = limntoinfty 1/(3(n+1)-1)1/(3n-1) = limntoinfty 3n+23n-1 =1
Como o limite é 1, o raio de convergência em t é Rt=1.

Passo 4

A condição lvert trvert<1 equivale a
l|x+23r|<1 Longrightarrow |x+2|<3 Longrightarrow -3 < x+2 < 3 Longrightarrow -5 < x < 1

Passo 5

Verificamos agora os extremos x=-5 e x=1.
Para x=1 temos t=1 e a série torna-se
sumn=1^infty 13n-1,
cujo termo geral não tende a zero (nem mesmo sob sinal alternado), comparável a tfrac1n. Logo diverge.

Passo 6

Para x=-5 temos t=-1 e a série é
sumn=1^infty 13n-1(-1)^n
Os termos tfrac13n-1 formam uma sequência positiva decrescente a zero, então pela série alternante de Leibniz a série converge (condicionalmente).

Resposta

O intervalo de convergência é
[-5,,1)

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