Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é análise de séries de potências usando o teste da razão para obter o raio de convergência e depois verificar os extremos do intervalo.
Passo 2
Reescrevemos a série em forma padrão. Defina
Então a série fica
Passo 3
Aplicamos o teste da razão em
:
Como o limite é
1 , o raio de convergência em
t é
Rt=1 .
Passo 4
A condição
lvert trvert<1 equivale a
Passo 5
Verificamos agora os extremos
x=-5 e
x=1 .
Para
x=1 temos
t=1 e a série torna-se
cujo termo geral não tende a zero (nem mesmo sob sinal alternado), comparável a
tfrac1n . Logo diverge.
Passo 6
Para
x=-5 temos
t=-1 e a série é
Os termos
tfrac13n-1 formam uma sequência positiva decrescente a zero, então pela série alternante de Leibniz a série converge (condicionalmente).
Resposta
O intervalo de convergência é