ExErcício 1.14. Deperminar o d (x) e r(x) na divisão dos polinômios indicados como funçoes racionais
f(x)=x^5-x+3x^3-x^2+7, g(x)=(x^2-1)(x^3+3)x^2+1, h(x)=x^4-1x-1

Passo 1

A questão pede para dividirmos cada numerador pelo seu denominador e escrever a função racional na forma
f(x)=d(x)+r(x)denominador
ou seja, encontrar o quociente d(x) e o resto r(x). O conteúdo que vamos usar é divisão de polinômios, aplicando o algoritmo da divisão longa (ou sintética, quando mais conveniente).

Passo 2

Para , fazemos a divisão longa de por :
  1. Dividimos por , que dá . Multiplicamos e subtraímos:
  1. Dividimos por , que dá . Subtraindo:
  1. Dividimos por , que dá . Subtraindo:
Como o grau do resto (2) é menor que o do divisor (3), paramos. O quociente é e o resto é .

Passo 3

Para g(x)=dfrac(x^2-1)(x^3+3)x^2+1, primeiro expandimos o numerador:
(x^2-1)(x^3+3)=x^5 - x^3 +3x^2 -3
Agora dividimos x^5 - x^3 +3x^2 -3 por x^2+1:
  1. x^5div x^2 = x^3. Subtraindo:
x^3(x^2+1)=x^5 + x^3
l(x^5 - x^3 +3x^2 -3r)-(x^5 + x^3)=-2x^3+3x^2 -3
  1. -2x^3div x^2 = -2x. Subtraindo:
-2x(x^2+1)=-2x^3 -2x
(-2x^3+3x^2 -3)-(-2x^3 -2x)=3x^2 +2x -3
  1. 3x^2div x^2 =3. Subtraindo:
3(x^2+1)=3x^2+3
(3x^2+2x -3)-(3x^2+3)=2x -6
O grau do resto (1) é menor que o do divisor (2), então o quociente é x^3 -2x +3 e o resto é 2x -6.

Passo 4

Para h(x)=dfracx^4-1x-1, notamos que x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1). Também podemos usar divisão sintética com raiz 1:
Coeficientes de x^4+0x^3+0x^2+0x-1 e pólo 1:

1 | 1 0 0 0 -1
| 1 1 1 1

 1  1  1  1   0
Isso dá quociente x^3+x^2+x+1 e resto 0.

Resposta

Para f(x): d(x)=x^2 + x + 1 e r(x)=-6x^2 -8x -4. Para g(x): d(x)=x^3 -2x +3 e r(x)=2x -6. Para h(x): d(x)=x^3 +x^2 +x +1 e r(x)=0.

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