Exercício 1.15. Sejam as seguintes funções que são quocientes de polinômios:
f(x)=3 x^5-15 x^3-x+7, g(x)=x^5-12 x^8-6 x^3+7 x^2-5, h(x)=3 x^5-15 x^5-x+7
Obter os limites dessas funções quando x tender para o infinito. Para tanto, primeiro teste para x=1, x=10, x=100, x=1000.

Passo 1

O enunciado pede para obter os limites, quando xtoinfty, das funções racionais
f(x)=3x^5-15x^3-x+7, g(x)=x^5-12x^8-6x^3+7x^2-5, h(x)=3x^5-15x^5-x+7
Vamos primeiro testar numericamente para x=1,10,100,1000 e depois usar o resultado teórico de limites de quocientes de polinômios.

Passo 2

Testes numéricos:
f(1)=3cdot1^5-15cdot1^3-1+7=211approx0,1818, g(1)=1^5-12cdot1^8-6cdot1^3+7cdot1^2-5=0-2=0, h(1)=211approx0,1818
f(10)=3cdot10^5-15cdot10^3-10+7=2999994997approx60,02, g(10)=10^5-12cdot10^8-6cdot10^3+7cdot10^2-5approx99999199994695approx0,0005, h(10)=299999499997approx0,6000
f(100)approx3cdot10^105cdot10^6=6000, g(100)approx10^102cdot10^16=5times10^-7, h(100)approx3cdot10^105cdot10^10=0,6
f(1000)approx3cdot10^155cdot10^9=6times10^5, g(1000)approx10^152cdot10^24=5times10^-10, h(1000)approx3cdot10^155cdot10^15=0,6
Esses resultados sugerem que f(x) cresce sem limite, g(x)to0 e h(x)to0,6.

Passo 3

Teoria de limites de racionais: sejam P(x) e Q(x) polinômios de graus n e m. Então
  1. Se n>m, limxtoinftyP(x)Q(x)=pminfty conforme o sinal de coeficientes ).
  2. Se n<m, limxtoinftyP(x)Q(x)=0.
  3. Se n=m, limxtoinftyP(x)Q(x)=coef líder de Pcoef líder de Qíí.

Passo 4

Para f(x)=tfrac3x^5-15x^3-x+7 temos grau do numerador n=5 e do denominador m=3, logo n>m. O termo dominante é
3x^55x^3=35,x^2to+infty
Logo limxtoinftyf(x)=+infty.

Passo 5

Para g(x)=tfracx^5-12x^8-6x^3+7x^2-5 temos n=5 e m=8, logo n<m. Assim o limite é
limxtoinftyg(x)=0

Passo 6

Para h(x)=tfrac3x^5-15x^5-x+7 temos n=m=5. Os coeficientes líderes são 3 e 5, de modo que
limxtoinftyh(x)=35=0,6

Passo 7

Os resultados teóricos confirmam o comportamento observado numericamente.

Resposta

limxtoinftyf(x)=+infty, limxtoinftyg(x)=0, limxtoinftyh(x)=tfrac35

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