Sendo log 10 11 simeq 1,042, qual dos dois números é maior 10^11 ou 11^10 ?
40. Seja x in R e a neq 1 e positivo. Resolva a equação
a^x-2 a^2 x+1=0

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas. A primeira é comparar os números 10^11 e 11^10 sabendo que log1011simeq1,042. A segunda é resolver a equação
a^x-2a^2x+1=0,
onde a>0 e aneq1. Usaremos propriedades de logaritmo para comparar potências e, em seguida, método de substituição para resolver a equação exponencial.

Passo 2

Para comparar 10^11 e 11^10, aplicamos log10 em ambos, usando que log10 é função crescente:
log10(10^11)=11cdotlog10(10)=11,
log10(11^10)=10cdotlog10(11)simeq10times1,042=10,42
Como 11>10,42, temos
log10(10^11)>log10(11^10) Longrightarrow 10^11>11^10

Passo 3

Para resolver
a^x-2a^2x+1=0,
reconhecemos que é uma equação quadrática em a^x. Fazemos a troca
y = a^x,
que satisfaz y>0 pois a>0.

Passo 4

Substituindo na equação obtém-se
y - 2y^2 + 1 = 0 Long<=ftrightarrow -2y^2 + y + 1 = 0 Long<=ftrightarrow 2y^2 - y - 1 = 0
As raízes são
y = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,
ou seja y=1 ou y=-tfrac12. Como y=a^x>0, descartamos y=-tfrac12 e ficamos com y=1. Logo
a^x=1 Longrightarrow x=0

Resposta

10^11 é maior que 11^10.
A equação a^x-2a^2x+1=0 tem solução x=0.

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