Seja x in R. Determine o conjunto solução para as seguintes inequações logarítmicas
log x>2-log 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação logarítmica
log x > 2 - log(2x)
sobre os reais. Vamos usar propriedades de logaritmo (domínio, soma de logaritmos e monotonicidade) para transformar essa desigualdade num polinômio simples.

Passo 2

Determinamos o domínio: como aparecem log x e log(2x), precisamos de
x>0 e 2x>0,
o que dá simplesmente
x>0

Passo 3

Reescrevemos a inequação, passando -log(2x) para o lado esquerdo:
log x + log(2x) > 2

Passo 4

Aplicamos a propriedade de soma de logaritmos ( log a + log b = log(ab)):
logl(xcdot 2xr) > 2 Longrightarrow logl(2x^2r) > 2

Passo 5

Como o logaritmo em base 10 é função estritamente crescente, podemos “elevar” a potência de 10 em ambos os lados mantendo o sinal da desigualdade:
2x^2 > 10^2 Longrightarrow 2x^2 > 100 Longrightarrow x^2 > 50

Passo 6

Da desigualdade x^2>50 e do domínio x>0, concluímos
x > raiz50 = 5raiz2

Resposta

O conjunto solução é
boxed(5raiz2,,infty)

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