Exercício 1.4. Obter o domínio de validade das segintes funções, expressando-os na forma de intervalos
y=raizx-1, y=1raizx-1, y=raizx^2-2 x+3, y=raizx^3-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar o domínio (conjunto de valores de x que tornam a expressão válida) de quatro funções que envolvem radicais e, em um caso, um denominador. Vamos trabalhar com conceitos de inequações envolvendo expressões sob raiz quadrada e evitar divisão por zero.

Passo 2

Para y=√(x−1) a gente precisa que o que estiver dentro da raiz seja ≥0. Então montamos a inequação:
x−1>=0
Resolvendo, obtemos x≥1. Em notação de intervalo isso é [1,∞).

Passo 3

Em y=1/√(x−1) além de exigir x−1≥0 pra raiz, precisamos também que √(x−1)≠0 pra não dividir por zero. Então:
x−1>0
Isso dá x>1. Em intervalo: (1,∞).

Passo 4

Para y=√(x²−2x+3) analisamos o discriminante do polinômio dentro da raiz, pois é uma parábola:
D=(-2)²-4·1·3=4-12=-8<0 ²
Como o coeficiente de x² é positivo, o trinômio é sempre maior que zero. Logo, a raiz está bem definida para todo x∈ℝ. Domínio: (-∞,∞).

Passo 5

No caso de y=√(x³−2x+1) a gente precisa de x³−2x+1≥0. Primeiro achamos as raízes do polinômio:
Uma raiz óbvia é x=1, e dividindo x³−2x+1 por (x−1) fica x²+x−1, cujas raízes são
x=-1±raiz52
Chamando-as de α=(−1−√5)/2 e β=(−1+√5)/2, fazemos o estudo de sinal. O polinômio é ≥0 em
[α,β]∪[1,∞)
Porque é positivo ou zero nesses intervalos.

Passo 6

Juntando tudo em forma de intervalos para cada função temos os domínios pedidospodendo ser usados direto na prova.

Resposta

  1. [1,∞)
  2. (1,∞)
  3. (−∞,∞)
  4. [ (−1−√5)/2 , (−1+√5)/2 ] ∪ [1,∞)

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