Exercício 1.4. Obter o domínio de validade das segintes funções, expressando-os na forma de intervalos
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar o domínio (conjunto de valores de x que tornam a expressão válida) de quatro funções que envolvem radicais e, em um caso, um denominador. Vamos trabalhar com conceitos de inequações envolvendo expressões sob raiz quadrada e evitar divisão por zero.
Passo 2
Para y=√(x−1) a gente precisa que o que estiver dentro da raiz seja ≥0. Então montamos a inequação:
Resolvendo, obtemos x≥1. Em notação de intervalo isso é [1,∞).
Passo 3
Em y=1/√(x−1) além de exigir x−1≥0 pra raiz, precisamos também que √(x−1)≠0 pra não dividir por zero. Então:
Isso dá x>1. Em intervalo: (1,∞).
Passo 4
Para y=√(x²−2x+3) analisamos o discriminante do polinômio dentro da raiz, pois é uma parábola:
Como o coeficiente de x² é positivo, o trinômio é sempre maior que zero. Logo, a raiz está bem definida para todo x∈ℝ. Domínio: (-∞,∞).
Passo 5
No caso de y=√(x³−2x+1) a gente precisa de x³−2x+1≥0. Primeiro achamos as raízes do polinômio:
Uma raiz óbvia é x=1, e dividindo x³−2x+1 por (x−1) fica x²+x−1, cujas raízes são
Uma raiz óbvia é x=1, e dividindo x³−2x+1 por (x−1) fica x²+x−1, cujas raízes são
Chamando-as de α=(−1−√5)/2 e β=(−1+√5)/2, fazemos o estudo de sinal. O polinômio é ≥0 em
Porque é positivo ou zero nesses intervalos.
Passo 6
Juntando tudo em forma de intervalos para cada função temos os domínios pedidospodendo ser usados direto na prova.
Resposta
- [1,∞)
- (1,∞)
- (−∞,∞)
- [ (−1−√5)/2 , (−1+√5)/2 ] ∪ [1,∞)