Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum0^infty (x+1)^5 n(n+1) cdot 5^n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(x+1)^5n(n+1),5^n
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os pontos de fronteira.

Passo 2

Definimos o termo geral
un=(x+1)^5n(n+1),5^n
e aplicamos o teste da razão:
L=limntoinfty|un+1un| =limntoinfty|x+1|^5(n+1)(n+2),5^,n+1cdot(n+1),5^n|x+1|^5n =|x+1|^55,limntoinftyn+1n+2 =|x+1|^55
Convergência absoluta ocorre se L<1, ou seja
|x+1|^55<1

Passo 3

Da desigualdade acima tiramos
|x+1|^5<5 Longrightarrow |x+1|<5^1/5
Logo o raio de convergência é
R=5^1/5,
e a série converge absolutamente em
-5^1/5<x+1<5^1/5 Long<=ftrightarrow -1-5^1/5<x< -1+5^1/5

Passo 4

Testando o endereço direito x+1=5^1/5 (ou seja x=-1+5^1/5), temos
(x+1)^5=5 ;Longrightarrow; un=5^n(n+1),5^n =1n+1
A série sum1/(n+1) diverge (é harmônica), logo não inclui o limite direito.

Passo 5

Testando o endereço esquerdo x+1=-5^1/5 (ou seja x=-1-5^1/5), temos
(x+1)^5=-5 ;Longrightarrow; un=(-5)^n(n+1),5^n =(-1)^nn+1
Esta é uma série alternante com termos tfrac1n+1 decrescentes a zero, portanto converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência é
l[-1-5^1/5,,-1+5^1/5r)
com convergência condicional em x=-1-5^1/5 e divergência em x=-1+5^1/5.

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