Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os pontos de fronteira.
Passo 2
Definimos o termo geral
e aplicamos o teste da razão:
Convergência absoluta ocorre se
L<1 , ou seja
Passo 3
Da desigualdade acima tiramos
Logo o raio de convergência é
e a série converge absolutamente em
Passo 4
Testando o endereço direito
x+1=5^1/5 (ou seja
x=-1+5^1/5 ), temos
A série
sum1/(n+1) diverge (é harmônica), logo não inclui o limite direito.
Passo 5
Testando o endereço esquerdo
x+1=-5^1/5 (ou seja
x=-1-5^1/5 ), temos
Esta é uma série alternante com termos
tfrac1n+1 decrescentes a zero, portanto converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Resposta
O intervalo de convergência é
com convergência condicional em
x=-1-5^1/5 e divergência em
x=-1+5^1/5 .