Exercício 1.12. Seja o polinômio p(x)=a0+a1 x+ldots+an x^n de grau n o que significa que an neq 0.
Dê a expressão da função
f(x)=p(x)x^n para x>0
em função das funções do tipo b / x^j onde j=0,1, ldots, n.
Conclua que f(x) tende para an quando x tende para +infty.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o polinômio de grau n
p(x)=a0+a1x+cdots+anx^n com anneq0 e definimos
f(x)=p(x)x^n, x>0
O conteúdo envolve divisão de polinômios por monômio e propriedades de limites de potências.

Passo 2

Divisão de cada termo de p(x) por x^n:
f(x)=a0x^n+a1xx^n+cdots+anx^nx^n = a0x^-n+a1x^1-n+cdots+anx^0
Reescrevendo em funções do tipo b/x^j:
f(x)=an+an-1x+an-2x^2+cdots+a0x^n

Passo 3

Aplicação de limite: para cada j>=1, temos an-j/x^jto0 quando xto+infty. Logo,
f(x)=an+sumj=1^nan-jx^j; o an+0 = anquando xto+infty

Resposta

f(x)=an+dfracan-1x+dfracan-2x^2+cdots+dfraca0x^n e limxto+inftyf(x)=an.

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