Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn.
Vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Definindo u=3-x, reescrevemos a série na forma
sumn=1^infty u^n-1raizn
Isto é uma série em potências de u centrada em u=0.

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz na n-ésima termo
raiz[n]gl|u^n-1raizngr| =|u|^n-1n;n^-12n
Como ntoinfty temos |u|^(n-1)/nto|u| e n^-1/(2n)to1, logo
limntoinftyraiz[n]|Tn|=|u|
Pelo teste da raiz, a série converge se |u|<1 e diverge se |u|>1.

Passo 4

Voltando para x, a condição |u|<1 vira
|3-x|<1 Long<=ftrightarrow 2<x<4
Portanto o raio de convergência é 1 e o intervalo interior de convergência é (2,4).

Passo 5

Verificando a extremidade x=2: temos u=3-2=1 e a série fica
sumn=1^infty 1^n-1raizn =sumn=1^infty 1raizn,
que é uma série p-com p=tfrac12<=1 e, portanto, diverge.

Passo 6

Verificando x=4: temos u=3-4=-1 e a série fica
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn,
que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz (os termos tfrac1raizn são decrescentes e tendem a zero), mas não converge absolutamente.

Resposta

O intervalo de convergência é (2,4].

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