Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências .
Vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos.
Passo 2
Definindo , reescrevemos a série na forma
Isto é uma série em potências de centrada em .
Passo 3
Aplicamos o teste da raiz na -ésima termo
Como ntoinfty temos |u|^(n-1)/nto|u| e n^-1/(2n)to1, logo
limntoinftyraiz[n]|Tn|=|u|
Pelo teste da raiz, a série converge se |u|<1 e diverge se |u|>1.
Passo 4
Voltando para x, a condição |u|<1 vira
|3-x|<1 Long<=ftrightarrow 2<x<4
Portanto o raio de convergência é 1 e o intervalo interior de convergência é (2,4).
Passo 5
Verificando a extremidade x=2: temos u=3-2=1 e a série fica
sumn=1^infty 1^n-1raizn =sumn=1^infty 1raizn,
que é uma série p-com p=tfrac12<=1 e, portanto, diverge.
Passo 6
Verificando x=4: temos u=3-4=-1 e a série fica
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn,
que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz (os termos tfrac1raizn são decrescentes e tendem a zero), mas não converge absolutamente.