Resolva as equações:
x y^prime-4 y=-2x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y' - 4y = -2x^2,
ou seja, é uma ODE linear do tipo y'+P(x),y=Q(x). Vamos usar o método do fator integrante: primeiro colocamos em forma padrão, depois achamos o fator integrante, multiplicamos, integramos e isolamos y.

Passo 2

Dividindo tudo por x (assumindo xneq 0) obtemos a forma padrão
y' - 4x,y = -2x^3

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(-integral 4x,dxr) = expl(-4ln|x|r) = |x|^-4
Em um mesmo intervalo de sinal de x podemos escrever mu(x)=x^-4.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-4. O lado esquerdo fica
x^-4y' - 4x,x^-4y = x^-4y' -4x^-5y = ddxl(x^-4yr),
e o lado direito vira
-2x^3;x^-4 = -2,x^-7
Logo
ddxl(x^-4yr)= -2,x^-7

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-4y = integral -2,x^-7,dx = -2cdotx^-6-6 + C = 13,x^-6 + C

Passo 6

Para isolar y basta multiplicar por x^4:
y = x^4l(13,x^-6 + Cr) = 13,x^-2 + C,x^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x)=13,x^-2 + C,x^4,
com C constante de integração.

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