Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
sumn=1^infty x^nn^2

Passo 1

O enunciado pede o domínio de convergência da série de potências
sumn=1^infty x^nn^2
O conteúdo é série de potências e vamos aplicar o critério da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar o comportamento em x=pm1.

Passo 2

Seja an = x^nn^2. Pelo critério da razão, calculamos
L = limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x^n+1/(n+1)^2x^n/n^2| = limntoinfty |x|;n^2(n+1)^2 = |x|

Passo 3

O critério da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo:
  • Converge para |x|<1.
  • Diverge para |x|>1.
    O caso |x|=1 é inconclusivo pelo critério da razão.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=1 a série vira
sumn=1^infty 1n^2,
que é uma série de p-série com p=2>1, logo converge.
Para x=-1 a série é
sumn=1^infty (-1)^nn^2,
que também converge absolutamente (pois sum1/n^2 converge). Logo em x=-1 a série converge.

Resposta

A série converge para -1 <= x <= 1 e diverge para |x|>1.

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