Use o critério da razão para determinar todos os valores de para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
Passo 1
O enunciado pede o domínio de convergência da série de potências
O conteúdo é série de potências e vamos aplicar o critério da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar o comportamento em .
Passo 2
Seja . Pelo critério da razão, calculamos
Passo 3
O critério da razão diz que a série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo:
Converge para |x|<1.
Diverge para |x|>1.
O caso |x|=1 é inconclusivo pelo critério da razão.
Passo 4
Agora testamos os extremos:
Para x=1 a série vira
sumn=1^infty 1n^2,
que é uma série de p-série com p=2>1, logo converge.
Para x=-1 a série é
sumn=1^infty (-1)^nn^2,
que também converge absolutamente (pois sum1/n^2 converge). Logo em x=-1 a série converge.
Resposta
A série converge para -1 <= x <= 1 e diverge para |x|>1.