Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum1^infty (x-3)^4 nn^1 / n

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em 3
sumn=1^infty(x-3)^4nn^1/n
Vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência e, em seguida, examinar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, considere o termo geral
an = (x-3)^4nn^1/n
Então
raiz[n]lvert anrvert =raiz[n]lvert x-3rvert^4nn^1/n =lvert x-3rvert^4l(n^1/nr)^1/n =lvert x-3rvert^4,n^-1/n^2
Como
limntoinftyn^-1/n^2=expl(limntoinftytfrac-ln nn^2r)=1,
segue que
L=limntoinftyraiz[n]lvert anrvert =lvert x-3rvert^4

Passo 3

O critério de convergência pelo teste da raiz exige L<1, ou seja
lvert x-3rvert^4<1 Long<=ftrightarrow lvert x-3rvert<1
Logo a série converge para lvert x-3rvert<1.
Nos extremos lvert x-3rvert=1 o termo geral fica
(pm1)^4nn^1/n =1n^1/n ;xrightarrow[ntoinfty];1neq0,
portanto diverge nos pontos x=2 e x=4.

Resposta

A série converge exatamente para
2<x<4

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