Exercício 1.16. Detremine os zeros e os intervalos correspondentes aos sinais das seguintes funções
A seguir calcular os valores de
para os a tais que
, a calcular os valores de
para os
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar os zeros e ver o sinal das funções f(x)=x3−6x2+11x−6, g(x)=3x^2−12x+11 e h(x)=6x−12, e em seguida calcular f(a) para as raízes de g, e g(b) para a raiz de h. Vamos usar teoria de raízes de polinômios e análise de sinais por fatoração.
Passo 2
Para f(x), notamos que ela se fatoriza como f(x)=(x−1)(x−2)(x−3). Logo as raízes são x=1, x=2 e x=3.
Passo 3
Para determinar o sinal de f(x) em cada intervalo, observamos o sinal de cada fator: em x<1 todos os três fatores são negativos ⇒ f(x)<0; em 1<x<2 dois fatores são negativos e um positivo ⇒ f(x)>0; em 2<x<3 um negativo e dois positivos ⇒ f(x)<0; para x>3 todos são positivos ⇒ f(x)>0.
Passo 4
Para g(x)=3x^2−12x+11 calculamos o discriminante Δ=144−132=12, logo as raízes são
Como o coeficiente de x^2 é positivo, g(x)>0 em (−∞,2−√3/3) e em (2+√3/3,∞), e g(x)<0 em (2−√3/3,2+√3/3).
Passo 5
Para h(x)=6x−12 a raiz é x=2. Como o coeficiente de x é positivo, h(x)<0 para x<2 e h(x)>0 para x>2.
Passo 6
Para achar f(a) para as raízes de g, seja α=√3/3. Então a_1=2−α e a_2=2+α, e usando f(a)=(a−1)(a−2)(a−3) obtemos
Passo 7
Para achar g(b) para a raiz de h, basta b=2 em g(x):
Resposta
Zeros e sinais:
f(x): zeros x=1,2,3; sinal: (−∞,1):−, (1,2):+, (2,3):−, (3,∞):+.
g(x): zeros x=2±√3/3; sinal: (−∞,2−√3/3):+, (2−√3/3,2+√3/3):−, (2+√3/3,∞):+.
h(x): zero x=2; sinal: (−∞,2):−, (2,∞):+.
Valores pedidos:
f(2−√3/3)=2√3/9,
f(2+√3/3)=−2√3/9,
g(2)=−1.
f(x): zeros x=1,2,3; sinal: (−∞,1):−, (1,2):+, (2,3):−, (3,∞):+.
g(x): zeros x=2±√3/3; sinal: (−∞,2−√3/3):+, (2−√3/3,2+√3/3):−, (2+√3/3,∞):+.
h(x): zero x=2; sinal: (−∞,2):−, (2,∞):+.
Valores pedidos:
f(2−√3/3)=2√3/9,
f(2+√3/3)=−2√3/9,
g(2)=−1.