Resolva as equações:
t y^prime-y=-t^2

Passo 1

A gente tem a equação de primeira ordem linear
t,y' - y = -t^2
Para resolver, vamos escrever na forma canônica y' + p(t),y = g(t) e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo por t (assumindo tneq0), fica
y' - 1t,y = -t,
logo p(t) = -tfrac1t e g(t) = -t.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^-integral 1t,dt = e^-ln|t| = 1t

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t)=tfrac1t, obtemos
1t,y' - 1t^2,y = -1
Isso é exatamente
ddtl(ytr) = -1,
pois tfracddt(y/t) = (t,y' - y)/t^2.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
yt = -t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por t, chegamos à solução geral
y(t) = -t^2 + C,t

Resposta

A solução geral é y(t) = -t^2 + C,t, com C constante de integração e tneq0.

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