Determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
sum2^infty (x-1)^2 n-2(2 n-4)!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=2^infty(x-1)^2n-2(2n-4)!
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de potências, e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Chamemos
an = (x-1)^2n-2(2n-4)!, n>=2
Aplicamos o Teste da Razão, computando
|an+1an| =|(x-1)^2(n+1)-2(2(n+1)-4)!cdot(2n-4)!(x-1)^2n-2| =|x-1|^2(2n-2)(2n-3)

Passo 3

Agora fazemos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|x-1|^2(2n-2)(2n-3)=0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em todos os reais.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-infty,infty)

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