Encontre o limite ou mostre que não existe:
lim x +infty (2 x^2+1)^2(x-1)^2(x^2+x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+infty(2x^2+1)^2(x-1)^2,(x^2+x)
O conteúdo envolvido é limite de quociente de polinômios para xto+infty. Vamos usar a ideia de comparar graus e coeficientes principais ou, equivalentemente, dividir numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Observamos os graus dos polinômios:
– Numerador: (2x^2+1)^2 é um polinômio de grau 4, cujo termo de maior grau é (2x^2)^2=4x^4.
– Denominador: (x-1)^2(x^2+x) é também de grau 4, pois (x-1)^2 tem grau 2 e (x^2+x) tem grau 2, combinando-se para grau 4. O termo principal é x^2cdot x^2=x^4.

Passo 3

Para ficar explícito, dividimos numerador e denominador por x^4:
(2x^2+1)^2(x-1)^2(x^2+x) =4x^4+4x^2+1x^4 -x^3 -x^2 +x =4 + 4x^-2 + x^-41 - x^-1 - x^-2 + x^-3

Passo 4

Ao fazermos xto+infty, os termos com potências negativas de x tendem a zero, restando
limxto+infty4 + 4x^-2 + x^-41 - x^-1 - x^-2 + x^-3 =4+0+01-0-0+0=4

Resposta

4

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