Mostre que
o único número primo da forma n^3-1 é 7 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, variando n inteiro, o valor n^3 - 1 só pode ser primo em um caso específico. O que vamos usar é a fatoração de diferença de cubos e depois analisar os possíveis valores de n.

Passo 2

Usamos a identidade de diferença de cubos:
n^3 - 1^3 = (n - 1),(n^2 + n + 1)
Isso nos dá uma expressão em que vemos dois fatores cujo tamanho depende diretamente de n.

Passo 3

Se n <= 1, então ,n^3 - 1 <= 0 e não consideramos valores não positivos como números primos no sentido usual. Logo não existem primos para n <= 1.

Passo 4

Para n = 2 temos
2^3 - 1 = 8 - 1 = 7
Nesse caso o fator n - 1 vale 1 e o outro fator vale 7, que é primo.

Passo 5

Para n >= 3 observamos que
n - 1 >= 2 e n^2 + n + 1 >= 3^2 + 3 + 1 = 13,
ou seja, ambos os fatores são maiores que 1. Logo n^3 - 1 é sempre composto.

Resposta

O único número primo da forma n^3 - 1 é 7.

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