Mostre que
o único número primo da forma
é 7 .
o único número primo da forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, variando
inteiro, o valor
só pode ser primo em um caso específico. O que vamos usar é a fatoração de diferença de cubos e depois analisar os possíveis valores de
.
Passo 2
Usamos a identidade de diferença de cubos:
Isso nos dá uma expressão em que vemos dois fatores cujo tamanho depende diretamente de
.
Passo 3
Se
, então
e não consideramos valores não positivos como números primos no sentido usual. Logo não existem primos para
.
Passo 4
Para
temos
Nesse caso o fator
vale
e o outro fator vale
, que é primo.
Passo 5
Para
observamos que
ou seja, ambos os fatores são maiores que
. Logo
é sempre composto.
Resposta
O único número primo da forma
é
.